エルミート行列のパウリ行列展開とその座標成分(1)

こんにちは。Kumaです。
今回はエルミート行列を展開する方法を紹介します。
これはAdvent Calendarの布石になっています。

エルミート行列の定義
エルミート行列の実数パラメータ表示
特別なエルミート行列としてパウリ行列
まとめ

エルミート行列の定義

エルミート行列とは、NxNの複素数の正方行列Hであって次の性質を満たすものを指します。
$H^{ \dagger } = H$
ここで演算子 $" \dagger "$ は複素共役 $"\star"$ を取ってから転置をすることを意味します。
(簡単のために N = 2 としましょう。)
すなわち、行列 $H$ の成分を
$H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
としたときに、

$H^{\dagger} = \begin{pmatrix} a^{\star} & c^{\star} \\ b^{\star} & d^{\star} \end{pmatrix}$
です。

エルミート行列の実数パラメータ表示

2x2の複素行列は $2^{2}$ 個の複素数(同じことですが $2 \times 2^{2}$ 個の実数)を持ちます。
エルミート行列は、その性質　 $H^{ \dagger } = H$ 　から、以下のように自由度が縛られます。

1. $a = a^{\star} , d = d^{\star}$ から対角要素 $a$ , $d$ は実数でなければならない。
2. $b = c^{\star} , c = b^{\star}$ から、非対角要素 $b$ , $c$ はどちらか一方を決めるともう片方が決まってしまう。

条件1,により $a$ , $d$ は虚数成分が0と確定するので、 $H$ を構成する実数の自由度の数は2減ります。
条件2,により,例えば $c$ は指定する必要がないので、 $H$ を構成する実数の自由度の数は2減ります。
以上により $H$ を構成する実数の自由度は $2 \times 2^{2} - 2 - 2 = 4$ となることがわかります。
どうやら、エルミート行列 $H$ は4個の実数で表示できそうです。
例えば、
$H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (p + qi) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (p + qi)^{\star} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

特別なエルミート行列としてパウリ行列

もう少しかっこよく $H$ を実数で分解する表式があります。そのために
次のような特別なエルミート行列 $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ を定義します。
$\sigma_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , \sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \sigma_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

こいつらのことをパウリ行列といいます。

$\sigma$ 達は何が特別なのかというと、(この記事では使いませんが）変な性質を持っています。

$\sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{2}\sigma_{1} = 2i \sigma_{3}$

これは添字(1,2,3)をサイクリックに入れ替えても成り立ちます。 $\sigma_{1と}\sigma_{2}$ は行列なので
かける順番によって結果が異なるわけですが、その”差”は相棒の $\sigma_{3}$ に定数倍を除いて一致するらしい。
ちょっと便利さがまだよくわからないですね。

次の性質はもっと直感的にも”便利そう”です。

$trace (\sigma_{1}) = trace (\sigma_{2}) = trace (\sigma_{3}) = 0$

ここで、 $trace$ というのは行列の対角要素の和を取る演算であり、 $trace (H) = a+d$ です。*1
パウリ行列たちは「トレースがゼロな行列」なんですね。
実は行列は行列を特徴づける”固有値”とよばれるN個の大事な数値を持つのですが、固有値の和は
トレースに一致するという定理があります。トレースがわかると、固有値の和はわかるわけです。*2
パウリ行列たちは2個の固有値をもつが、その和は0である　ことがわかりました。