量子計算理論(森前著) の演習問題を解く part1

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

二章はチューリングマシンから始まりますが、あまり詳しくないのでpp.15-　（古典的確率状態）から書いていきます。

pp.15.1 Xゲートの確認
pp.16.1 トフォリゲートの確認

pp.15.1 Xゲートの確認

$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
としたときに、 $X | 0 \rangle = | 1 \rangle$ および $X | 1 \rangle = | 0 \rangle$ を示せ。

解答

行列演算で示す。
$| 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
および
$| 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

なので
$X | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = | 1 \rangle$

と示される。同様に

$X | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = | 0 \rangle$

pp.16.1 トフォリゲートの確認

トフォリゲートを「三量子ビットに作用する演算であって、第一および第二量子ビットが１のときに限り第三量子ビットを反転させるもの」とする。即ち
$T = ( I \otimes I - |11\rangle \langle 11| ) \otimes I + |11 \rangle \langle 11| \otimes X$
ただし $I$ は恒等演算子であって $I = | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 |$ である。
また加算記号 $\oplus$ はmod 2 の加算である。
このとき、任意の $a,b,c \in {0,1}$ に対して $T |a,b,c \rangle = |a,b,c \oplus ab \rangle$ を示せ。

解答

ここで、出てきた $|11\rangle \langle 11| \otimes I$ という演算子がちょっと難しいので解説する。
まず、テンソル積 $\otimes$ の左右で独立と思って良い。つまりこの場合はテンソル積の左 $|11\rangle \langle 11|$ と右 $I$ でわけて考える。
テンソル積の左は第一量子ビットと第二量子ビットで作られる空間 $例えば |0_{q_{1}} 0_{q_{2}} \rangle$ に対して作用する二量子ビット演算子である。
テンソル積の右は、第三量子ビットだけで作られる空間 $例えば　|0_{q_{3}} \rangle$ に対して作用する一量子ビット演算子である。
つまり $|11\rangle \langle 11| \otimes I |0 0 0 \rangle$ は、 $|11\rangle \langle 11| 0_{q_{1}} 0_{q_{2}} \rangle = 0*| 11 \rangle = 0$ *3かつ　 $I |0_{q_{3}} \rangle = | 0 \rangle$ より
$|11\rangle \langle 11| \otimes I |0 0 0 \rangle = 0$ となる。
*4
よって
$T|0 0 0 \rangle \\ = ( I \otimes I \otimes I |)0 0 0 \rangle - (|11\rangle \langle 11| \otimes I |)0 0 0 \rangle + (|11 \rangle \langle 11| \otimes X|)0 0 0 \rangle \\ = |000 \rangle - 0 + 0 \\ = |0 0 0 \rangle$

確かに入力の第一量子ビットも第二量子ビットも1,つまり $|1 1 * \rangle$ のときだけ第三量子ビットが反転しそうである。
これを納得できれば*5、題意は簡単に示せる。
まず $a=b=1$ のとき、ab = 1 であり、 aかbのいずれかが0のときは　ab = 0 である]
そしてあるbit $c$ に対して1とmod 2加算( $c \oplus 1$ )を行うと、bitは反転する( $\bar{c}$ )。0であればbitは変化しない。
そのため、明らかに
"任意の $a,b,c \in {0,1}$ に対して $T |a,b,c \rangle = |a,b,c \oplus ab \rangle$ "　を満たす事（トフォリゲートの別表現）がわかる。