量子計算理論(森前 著) の演習問題を解く part6

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論 量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

本書の勉強会が大阪で開催されているそうです。
演習問題の解答も一部公開中です。（私の我流よりも少し見通しの良い解き方になっていますね）
大阪近郊の方はぜひ参加してみてください。
sites.google.com


今回はpp.37- です。

pp.37.2 CCZゲート


CCZは以下の回路と等価であることを示せ。

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回路図
ここで R_{\theta}は回転演算である。
R_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{j \theta} \end{pmatrix} = | 0 \rangle \langle 0 | + e^{j \theta} | 1 \rangle \langle 1 |
なおCCZとは3bit量子ビット演算であり、2つの制御ビットが共に1であるときに限り標的ビットにZを作用させる。
CCZ = ( I ^{\otimes ^{2}} - | 11 \rangle \langle 11 | ) \otimes I + | 11 \rangle \langle 11 | \otimes Z

  • 解答

回路図のゲート演算を左から順に U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, U_{5} とする。
\begin{eqnarray*} U_{1} &=& I \otimes ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes R_{\frac{\pi}{2}} \\ U_{2} &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X | \otimes I \\ U_{3} &=& I \otimes ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes R^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} \\ U_{4} &=& U_{2} \\ U_{5} &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I \otimes I+ | 1 \rangle \langle 1 | \otimes I \otimes R_{\frac{\pi}{2}} \\ \end{eqnarray*}
あとは U_{4}U_{5}, U_{3}(U_{4}U_{5}),...と順に計算して U_{1}U_{2}U_{3}U_{4}U_{5}を得ればよい。

式変形の過程で次の性質を使うと便利です。
\begin{eqnarray*} | 0 \rangle \langle 0 | X &=& | 0 \rangle \langle 0 | ( | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | ) = | 0 \rangle \langle 1 | \\ | 1 \rangle \langle 1 | X &=& | 1 \rangle \langle 0 | \\ X | 0 \rangle \langle 1 | &=& ( | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | ) | 0 \rangle \langle 1 | = | 1 \rangle \langle 1 | \\ X | 1 \rangle \langle 0 | &=& | 0 \rangle \langle 0 | \\ R^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} R_{\frac{\pi}{2}} &=& I \\ R_{\frac{\pi}{2}} R_{\frac{\pi}{2}} &=& Z \end{eqnarray*}

今回はここまで。