量子計算理論(森前 著) の演習問題を解く part7

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論 量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

本書の勉強会が大阪で開催されているそうです。
演習問題の解答も一部公開中です。（私の我流よりも少し見通しの良い解き方になっていますね）
大阪近郊の方はぜひ参加してみてください。
sites.google.com


今回はpp.38- です。

pp.38 Hadamardテスト

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Hadamardテスト

一番上の量子ビットを測定した時に0が得られる確率は
\begin{eqnarray*} \frac{2+ \langle \psi | U | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle }{4} \end{eqnarray*}
であることを示せ。
ただし
H = \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | - | 1 \rangle \langle 1 | )

  • 解答

ゲートを左から順に U_{1}, U_{2}, U_{3}とおく。
\begin{eqnarray*} U_{1} &=& H \\ U_{2} &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes U \\ U_{3} &=& H \\ \end{eqnarray*}

初期状態は | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle です。
\begin{eqnarray*} U_{1} ( | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle ) &=& \frac{1}{\sqrt{2}}( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \otimes | \psi \rangle \\ U_{1}U_{2} ( | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle ) &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes U) \frac{1}{\sqrt{2}}( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \otimes | \psi \rangle \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}( | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle + | 1 \rangle \otimes U | \psi \rangle) \\ U_{1}U_{2}U_{3} ( | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle ) &=& \frac{1}{2}( | 0 \rangle \otimes | \psi \rangle + | 1 \rangle \otimes | \psi \rangle + | 0 \rangle \otimes U | \psi \rangle - | 1 \rangle \otimes U | \psi \rangle) \end{eqnarray*}
これがゲート通過後の量子状態 | \psi_{out} \rangle である。第一量子ビットが0である確率 p_{0}は、
p_{0} = | ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I ) | \psi_{out} \rangle |^{2}
である。
*1

\begin{eqnarray*} p_{0} &=& | | \psi \rangle + U | \psi \rangle | ^{2} \frac{1}{4} \\ &=& ( \langle \psi | + \langle \psi | U^{\dagger} )( | \psi \rangle + U| \psi \rangle ) \frac{1}{4} \\ &=& ( \langle \psi | \psi \rangle + \langle \psi | U | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} U | \psi \rangle ) \frac{1}{4} \\ &=& ( \langle \psi | \psi \rangle + \langle \psi | U | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle + \langle \psi | \psi \rangle ) \frac{1}{4} \\ &=& (1 + \langle \psi | U | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle + 1 ) \frac{1}{4} \\ &=& (2 + \langle \psi | U | \psi \rangle + \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle) \frac{1}{4} \end{eqnarray*}
となり、示された。


なお第一量子ビットが1である確率 p_{1}は
\begin{eqnarray*} p_{1} &=& | ( | 1 \rangle \langle 1 | \otimes I ) | \psi_{out} \rangle |^{2} \\ &=& | | \psi \rangle - U | \psi \rangle | ^{2} \frac{1}{4} \\ &=& ( \langle \psi | - \langle \psi | U^{\dagger} )( | \psi \rangle - U| \psi \rangle ) \frac{1}{4} \\ &=& ( \langle \psi | \psi \rangle - \langle \psi | U | \psi \rangle - \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle + \langle \psi | \psi \rangle ) \frac{1}{4} \\ &=& (2 - \langle \psi | U | \psi \rangle - \langle \psi | U^{\dagger} | \psi \rangle) \frac{1}{4} \end{eqnarray*}
すなわち p_{0} + p_{1} = 1　が確認できる。

今回はここまで。

*1:ちなみに第一量子ビットが1である確率 p_{1}は p_{1} = | ( | 1 \rangle \langle 1 | \otimes I ) | \psi_{out} \rangle |^{2} であるし、 第一および第二量子ビットが同時に1である確率 p_{11}は p_{11} = | ( | 1 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 1 | ) | \psi_{out} \rangle |^{2} である。