量子計算理論(森前 著) の演習問題を解く part10

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論 量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

本書の勉強会が大阪で開催されているそうです。
演習問題の解答も一部公開中です。（私の我流よりも少し見通しの良い解き方になっていますね）
大阪近郊の方はぜひ参加してみてください。
sites.google.com


今回はpp.40- です。

pp.40 クリフォード演算子(2)


\begin{eqnarray*} &(&1) R_{\frac{\pi}{4}} X R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} = \frac{X+Y}{2} = e^{-i \frac{\pi}{4} } R_{\frac{\pi}{2}} X \\ &(&2) R_{\frac{\pi}{4}} Y R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} = \frac{-X+Y}{2} = e^{-i \frac{\pi}{4} } R_{\frac{\pi}{2}} Y \\ &(&3) R_{\frac{\pi}{4}} Z R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} = Z \end{eqnarray*}
を示せ。
ここに
\begin{eqnarray*} X &=& | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | \\ Y &=& i | 1 \rangle \langle 0 | -i | 0 \rangle \langle 1 | \\ Z &=& | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | \\ R_{\frac{\pi}{4}} &=& | 0 \rangle \langle 0 | + e^{j \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle \langle 1 | \\ \end{eqnarray*}
である。

  • 解答

\begin{eqnarray*} R_{\frac{\pi}{4}}( X R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} ) &=& R_{\frac{\pi}{4}}( | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | )( | 0 \rangle \langle 0 | + e^{-i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& R_{\frac{\pi}{4}} (e^{-i \frac{\pi}{4}} | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 |) \\ &=& (| 0 \rangle \langle 0 | + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle \langle 1 | ) (e^{-i \frac{\pi}{4}} | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 |) \\ &=& e^{-i \frac{\pi}{4}}| 0 \rangle \langle 1 | + e^{i \frac{\pi}{4}}| 1 \rangle \langle 0 | \\ &=& ( \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} ) | 0 \rangle \langle 1 | + ( \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} ) | 1 \rangle \langle 0 | \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}( | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | ) + \frac{1}{\sqrt{2}}( i | 1 \rangle \langle 0 | - i | 0 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& \frac{X+Y}{2} \end{eqnarray*}
となり第一の等式が示された。第二の等式については以下の通り。

\begin{eqnarray*} R_{\frac{\pi}{4}}( X R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} ) &=& R_{\frac{\pi}{4}}( | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | )( | 0 \rangle \langle 0 | + e^{-i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& R_{\frac{\pi}{4}} (e^{-i \frac{\pi}{4}} | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 |) \\ &=& (| 0 \rangle \langle 0 | + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle \langle 1 | ) (e^{-i \frac{\pi}{4}} | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 |) \\ &=& e^{-i \frac{\pi}{4}}| 0 \rangle \langle 1 | + e^{i \frac{\pi}{4}}| 1 \rangle \langle 0 | \\ &=& e^{-i \frac{\pi}{4}}|( | 0 \rangle \langle 1 | + e^{i \frac{\pi}{2}}| 1 \rangle \langle 0 | ) \\ &=& e^{-i \frac{\pi}{4}}( | 0 \rangle \langle 0 | + e^{i \frac{\pi}{2}}| 1 \rangle \langle 1 | )( | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | ) \\ &=& e^{-i \frac{\pi}{4} } R_{\frac{\pi}{2}} X \end{eqnarray*}
となり示された。*1

他についても同様。

R_{\frac{\pi}{4}} は共役作用 R_{\frac{\pi}{4}} ( \cdot ) R^{\dagger}_{\frac{\pi}{4}} の下でパウリ行列をパウリ行列に移さないので、
即ちクリフォード演算子ではない。
クリフォード演算子かどうかは、ぱっとみてわかるようなものではなさそうですね。

今回はここまで。

*1:途中の式変形が少し難しい。