量子計算理論(森前 著) の演習問題を解く part5

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論 量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

今回はpp.37- です。

pp.37.1 CZゲートの対称性


1.CZゲートの対称性（制御ビットと標的ビットを入れ替えても同じ）を示せ
を示せ。*1
2.CNOT→制御ビットと標的ビットを入れ替えたCNOT→CNOTがSWAPゲート（ビットの入れ替え）
U ( | \psi \rangle \otimes | \phi \rangle ) = | \phi \rangle \otimes | \psi \rangle
になっていることを示せ.

  • 解答

1. CZゲートは
CZ = | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z
とかける。
すなわち対称性を示せとは、
| 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z = I \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + Z \otimes | 1 \rangle \langle 1 |
を示せということである。
これを示すには、
I = | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | , Z = | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 |
を使う。
やっていこう。
\begin{eqnarray*} | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes ( | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + ( | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) \otimes | 1 \rangle \langle 1 | \\ &=& I \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + Z \otimes | 1 \rangle \langle 1 | \\ \end{eqnarray*}
よって示された。

2. CNOTゲートは
CNOT = | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X
とかける。

制御ビットと標的ビットを入れ替えたCNOTは
CNOT = I \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + X \otimes | 1 \rangle \langle 1 |
である。

よって
\begin{eqnarray*} U &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X )( I \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + X \otimes | 1 \rangle \langle 1 | )( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X ) \\ &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X )( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes | 0 \rangle \langle 0 | X + X | 0 \rangle \langle 0 | \otimes | 1 \rangle \langle 1 | + X | 1 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 1 | X ) \\ &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X )( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | \otimes | 1 \rangle \langle 1 | + | 0 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 0 | ) \\ &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes X | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | \otimes X | 1 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes | 1 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | \otimes | 0 \rangle \langle 1 |) \end{eqnarray*}

このゲートはSWAPゲートになっている。実際に Uを作用させてみると、
\begin{eqnarray*} | 00 \rangle \rightarrow | 00 \rangle \\ | 01 \rangle \rightarrow | 10 \rangle \\ | 10 \rangle \rightarrow | 01 \rangle \\ | 11 \rangle \rightarrow | 11 \rangle \end{eqnarray*}

となるので、確かにbitが入れ替わっています！

今回はここまで。

*1:ただしこのような対称性は一般には成り立たない。CZゲートの特徴である。（特徴付けであるかは不明)