量子計算理論(森前著) の演習問題を解く part8

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
f:id:phymath1991:20181224165540p:plain
量子計算理論量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

本書の勉強会が大阪で開催されているそうです。
演習問題の解答も一部公開中です。（私の我流よりも少し見通しの良い解き方になっていますね）
大阪近郊の方はぜひ参加してみてください。
sites.google.com

今回はpp.39- です。

pp.39 複素係数表示と実係数表示

pp.39 複素係数表示と実係数表示

複素係数表示におけるゲート $\Lambda(R_{\frac{\pi}{2}})$ は実係数表示においては
$T( I \otimes I \otimes H ) T (I \otimes I \otimes H )$ を作用させることによりシミュレートできることを示せ。
ここで、複素係数表示(2量子ビット)は
$| \psi \rangle = \sum c_{z} | z \rangle$
であり、実係数表示(2量子ビット+1量子ビット)は、 $c_{z} = \alpha_{z} + j \beta_{z}$ として
$| \tilde{ \psi } \rangle = \sum ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | 0 \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | 1 \rangle )$
で定義される。
さらに $T$ はトフォリゲート(CCXゲート)、 $\Lambda(U)$ はコントロールUゲート、HはHadamrdゲートであり
$\begin{eqnarray*} T &=& ( I ^{\otimes 2} - | 11 \rangle \langle 11 | ) \otimes I + | 11 \rangle \langle 11 | \otimes X \\ \Lambda(U) &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes U \\ H &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) \end{eqnarray*}$
である。

解答

まず $H$ について
$\begin{eqnarray*} H | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \\ H | 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle - | 1 \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$
により、
$\begin{eqnarray*} | + \rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle + | 1 \rangle ) \\ | - \rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle - | 1 \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$
と定義する。

$\begin{eqnarray*} | \tilde{ \psi } \rangle &=& \sum ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | 0 \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | 1 \rangle ) \\ (I \otimes I \otimes H )| \tilde{ \psi } \rangle &=& \sum ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | + \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | - \rangle ) \\ T(I \otimes I \otimes H )| \tilde{ \psi } \rangle &=& ( \alpha_{11} | 11 \rangle \otimes X | + \rangle + \beta_{11} | 11 \rangle \otimes X | - \rangle ) + \sum_{z \neq 11} ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | + \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | - \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$

ここで
$\begin{eqnarray*} X | + \rangle &=& | + \rangle \\ X | - \rangle &=& - | - \rangle \\ \end{eqnarray*}$

よって、
$\begin{eqnarray*} T(I \otimes I \otimes H )| \tilde{ \psi } \rangle &=& ( \alpha_{11} | 11 \rangle \otimes | + \rangle - \beta_{11} | 11 \rangle \otimes | - \rangle ) + \sum_{z \neq 11} ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | + \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | - \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$
となる。

ここで、
$\begin{eqnarray*} H | + \rangle &=& | 0 \rangle \\ H | - \rangle &=& | 1 \rangle \\ \end{eqnarray*}$

よって
$\begin{eqnarray*} (I \otimes I \otimes H )T(I \otimes I \otimes H )| \tilde{ \psi } \rangle &=& ( \alpha_{11} | 11 \rangle \otimes | 0 \rangle - \beta_{11} | 11 \rangle \otimes | 1 \rangle ) + \sum_{z \neq 11} ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | 0 \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | 1 \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$

最後に $T$ を作用させると、
$\begin{eqnarray*} T(I \otimes I \otimes H )T(I \otimes I \otimes H )| \tilde{ \psi } \rangle &=& ( \alpha_{11} | 11 \rangle \otimes | 1 \rangle - \beta_{11} | 11 \rangle \otimes | 0 \rangle ) + \sum_{z \neq 11} ( \alpha_{z} | z \rangle \otimes | 0 \rangle + \beta_{z} | z \rangle \otimes | 1 \rangle ) \\ \end{eqnarray*}$
元の状態 $| \tilde{\psi} \rangle$ と比較すると、 $z = 11$ に相当する量子状態（制御ビットが1かつ標的ビットが1)の項だけが $\alpha_{z} + j \beta_{z} \rightarrow_{( \times j )} - \beta_{z} + j \alpha_{z}$ と $\pi/2$ 回転した状態に移されている。
すなわち複素数表示において $\Lambda (R_{\frac{\pi}{2}})$ 　ゲートを作用させたことに他ならない。
*1