量子計算理論(森前 著) の演習問題を解く part9

こんにちは。Kumaです。

最近、量子コンピュータについて勉強しています。
今回は有名な以下の本の演習問題について、解答が載っていないので一部書いてみたいとおもいます。
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量子計算理論 量子コンピュータの原理 | 森北出版株式会社

本書の勉強会が大阪で開催されているそうです。
演習問題の解答も一部公開中です。（私の我流よりも少し見通しの良い解き方になっていますね）
大阪近郊の方はぜひ参加してみてください。
sites.google.com


今回はpp.39- です。

pp.39.2 クリフォード演算子


\begin{eqnarray*} &(&1) HXH = Z, HYH = -Y, HZH = X \\ &(&2) R_{\frac{\pi}{2}}XR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = Y, R_{\frac{\pi}{2}}YR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = -X, R_{\frac{\pi}{2}}ZR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = Z \\ &(&3) CZ( X \otimes I ) CZ = X \otimes Z, CZ( Y \otimes I ) CZ = Y \otimes Z, CZ( Z \otimes I ) CZ = Z \otimes I \end{eqnarray*}
を示せ。
ここに
\begin{eqnarray*} H &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) \\ X &=& | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | \\ Y &=& i | 1 \rangle \langle 0 | -i | 0 \rangle \langle 1 | \\ Z &=& | 0 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | \\ R_{\frac{\pi}{2}} &=& | 0 \rangle \langle 0 | + e^{j \frac{\pi}{2}} | 1 \rangle \langle 1 | \\ CZ &=& | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z \end{eqnarray*}
である。

  • 解答

(1) HXH = Z, HYH = -Y, HZH = X

\begin{eqnarray*} H(XH) &=& H( | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | )( \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) ) \\ &=& H \frac{1}{\sqrt{2}}( | 1 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | + | 0 \rangle \langle 0 | - | 0 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}} ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 | + | 1 \rangle \langle 0 | - | 1 \rangle \langle 1 | ) \frac{1}{\sqrt{2}}( | 1 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | + | 0 \rangle \langle 0 | - | 0 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& \frac{1}{2}( 2| 0 \rangle \langle 0 | - 2| 1 \rangle \langle 1 |) \\ &=& Z \end{eqnarray*}
となり示された。他についても同様である。

(2) R_{\frac{\pi}{2}}XR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = Y, R_{\frac{\pi}{2}}YR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = -X, R_{\frac{\pi}{2}}ZR^{\dagger}_{\frac{\pi}{2}} = Z

\begin{eqnarray*} R(XR) &=& R( ( | 1 \rangle \langle 0 | + | 0 \rangle \langle 1 |)( | 0 \rangle \langle 0 | + e^{-j \frac{\pi}{2}} | 1 \rangle \langle 1 | ) )\\ &=& R( | 1 \rangle \langle 0 | + + e^{-j \frac{\pi}{2}} | 0 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& ( | 0 \rangle \langle 0 | + e^{j \frac{\pi}{2}} | 1 \rangle \langle 1 | )( | 1 \rangle \langle 0 | + + e^{-j \frac{\pi}{2}} | 0 \rangle \langle 1 | ) \\ &=& -i | 0 \rangle \langle 1 | + i | 1 \rangle \langle 0 | = Y \end{eqnarray*}
となり示された。他についても同様である。

(3) CZ( X \otimes I ) CZ = X \otimes Z, CZ( Y \otimes I ) CZ = Y \otimes Z, CZ( Z \otimes I ) CZ = Z \otimes I
\begin{eqnarray*} CZ(( X \otimes I ) CZ) &=& CZ ( X \otimes I) ( | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z ) \\ &=& CZ( X | 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + X | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z ) \\ &=& CZ ( | 1 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 0 \rangle \langle 1 | \otimes Z ) \\ &=& (| 0 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes Z ) ( | 1 \rangle \langle 0 | \otimes I + | 0 \rangle \langle 1 | \otimes Z ) \\ &=& | 0 \rangle \langle 1 | \otimes Z + | 1 \rangle \langle 0 | \otimes Z \\ &=& X \otimes Z \end{eqnarray*}

となり示された。他についても同様である。

これらの確認によりH, R_{\frac{\pi}{2}}, CZ がクリフォード演算子であることが示された。
(ただし H^{\dagger} = H, CZ^{\dagger} = CZ であることを示さなければならない)

今回はここまで。