2018-12-01

エルミート行列のパウリ行列展開とその座標成分(1)

こんにちは。Kumaです。
今回はエルミート行列を展開する方法を紹介します。
これはAdvent Calendarの布石になっています。

エルミート行列の定義
エルミート行列の実数パラメータ表示
特別なエルミート行列としてパウリ行列
まとめ

エルミート行列の定義

エルミート行列とは、NxNの複素数の正方行列Hであって次の性質を満たすものを指します。
$H^{ \dagger } = H$
ここで演算子 $" \dagger "$ は複素共役 $"\star"$ を取ってから転置をすることを意味します。
(簡単のために N = 2 としましょう。)
すなわち、行列 $H$ の成分を
$H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
としたときに、

$H^{\dagger} = \begin{pmatrix} a^{\star} & c^{\star} \\ b^{\star} & d^{\star} \end{pmatrix}$
です。

エルミート行列の実数パラメータ表示

2x2の複素行列は $2^{2}$ 個の複素数(同じことですが $2 \times 2^{2}$ 個の実数)を持ちます。
エルミート行列は、その性質　 $H^{ \dagger } = H$ 　から、以下のように自由度が縛られます。

1. $a = a^{\star} , d = d^{\star}$ から対角要素 $a$ , $d$ は実数でなければならない。
2. $b = c^{\star} , c = b^{\star}$ から、非対角要素 $b$ , $c$ はどちらか一方を決めるともう片方が決まってしまう。

条件1,により $a$ , $d$ は虚数成分が0と確定するので、 $H$ を構成する実数の自由度の数は2減ります。
条件2,により,例えば $c$ は指定する必要がないので、 $H$ を構成する実数の自由度の数は2減ります。
以上により $H$ を構成する実数の自由度は $2 \times 2^{2} - 2 - 2 = 4$ となることがわかります。
どうやら、エルミート行列 $H$ は4個の実数で表示できそうです。
例えば、
$H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (p + qi) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (p + qi)^{\star} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

特別なエルミート行列としてパウリ行列

もう少しかっこよく $H$ を実数で分解する表式があります。そのために
次のような特別なエルミート行列 $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ を定義します。
$\sigma_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , \sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \sigma_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

こいつらのことをパウリ行列といいます。

$\sigma$ 達は何が特別なのかというと、(この記事では使いませんが）変な性質を持っています。

$\sigma_{1}\sigma_{2} - \sigma_{2}\sigma_{1} = 2i \sigma_{3}$

これは添字(1,2,3)をサイクリックに入れ替えても成り立ちます。 $\sigma_{1と}\sigma_{2}$ は行列なので
かける順番によって結果が異なるわけですが、その”差”は相棒の $\sigma_{3}$ に定数倍を除いて一致するらしい。
ちょっと便利さがまだよくわからないですね。

次の性質はもっと直感的にも”便利そう”です。

$trace (\sigma_{1}) = trace (\sigma_{2}) = trace (\sigma_{3}) = 0$

ここで、 $trace$ というのは行列の対角要素の和を取る演算であり、 $trace (H) = a+d$ です。*1
パウリ行列たちは「トレースがゼロな行列」なんですね。
実は行列は行列を特徴づける”固有値”とよばれるN個の大事な数値を持つのですが、固有値の和は
トレースに一致するという定理があります。トレースがわかると、固有値の和はわかるわけです。*2
パウリ行列たちは2個の固有値をもつが、その和は0である　ことがわかりました。

まとめ

$H^{ \dagger } = H$ となるような2x2複素正方行列をエルミート行列といい、実数4つぶんの自由度がある。
パウリ行列　 $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ 　という特別なものがあり、これらはトレースゼロである。

次に、 $H$ をトレースがゼロでない行列とトレースがゼロな行列で分解してみたい・・・のですが

長くなってしまったので、続きは別記事にします。

それでは！！

*1:trace が線形な演算であることも重要な性質です

*2:ちなみに行列式 $det$ は固有値の積と等しいです。

2018-11-24

機械学習とボルテラ級数展開の関係

どうも、Kumaです。

最近、ニューラルネットワーク(以下、NN)に少し触れる機会があります。

そこで少し気づいたことについて紹介します。

NNは（かなり多様な）非線形フィルタを実現できるとされています。

しかし非線形フィルタはこれまでもずっと研究されてきています。
有名なものとしては、ボルテラ級数があります。これは二変数の畳込みフィルタです。すなわち、1変数の畳込みを

$\displaystyle y(n) = \sum_{i} h(i)x(n-i)$

とするとき、二次のボルテラ級数とは二次の畳み込みであって

$\displaystyle y(n) = \sum_{i,j} h(i,j)x(n-i)x(n-j)$

となります。N次も同様に定義できます。

ボルテラ級数は、次数を増やしていけば、（計算量を別にすれば[1]）かなり広い非線形システムを近似できそうです！[2]

さて、ボルテラ級数というクラシカルな方法と、NNのような新しい方法は無関係な技術なのでしょうか？
私にはそうは思えません。両者はかなり似た計算をしています。

調べてみたところ、先行研究がありました。
今回の記事の目的はこれを紹介したかったということです。

[計測自動制御学会論文集　Vol.31,No.9,1408/1415(1995) ] ニュニラルネットワークのVolterra核推定と構造同定への応用横山誠・多氣昌生 渡辺敦・高橋治文

www.jstage.jst.go.jp -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
そこで本論では,まずVolterra級数モデルのパラメトリゼーションから出発し,ANNを含んだ非線形モデルを導入する.
そして,本モデルの特別なモデルが,現在広く用いられているANNを含んだモデルの特別な場合に相当することを示す.
つぎに,本モデルのANN中のパラメータとVolterra核のパラメータの関係を示す.
したがって,本モデルによってシステムを同定した後,ANN中パラメータを用いることによって,容易に任意のVolterra核が算出でき,Volterra級数モデルが得られることが示される.
すなわち,このVolterra級数モデルを用いることによって,学習同定後に同定対象の動特性を解析することができる.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
つまり、NNはボルテラ級数展開の枠組みで捉えられるということになります。

すべての機械学習モデルがこの方法で書けるのかどうかは分かりません。
（たぶんそんなに簡単ではないと信じている）
また、ボルテラで書ければ全てが「わかった」と思えるわけでもありません。

ただ、工学で使われている技術が何らかの言葉でgeneralizeできるというときに、私はとてもワクワクするのでした。

それでは。

[1] Kumaの理解では、これは畳みこみの一種ですので、Fourier変換して積に落とし込むとより高速に計算できますが。

[2]しかし、一般に未知の非線形システムに対して「何次まで用意すれば十分な精度が出るのか」は既知でないことがほとんどです。非線形性が強くない領域では摂動法も有用ですが、やはり何次まで取ればいいのかはケースバイケースです。

2018-11-17

Adventカレンダーについて

ブログの方ではご無沙汰です。Kumaです。

今年も日曜数学アドベントカレンダーが始まります。

12月に毎日数学のブログ記事等をupしていくイベントです。（担当は日替わり）

adventar.org

僭越ながらKumaも12/16に記事を掲載する予定です。
内容は考え中なのですが、いつものスタンスで
「誰もが必ず（ほぼ毎日）お世話になっている工学であって、かつその体系的な理論＝数学があまり整理されていないと（Kumaには）思われるもの」を取り上げます。
Spinorの話を書こうかと思っています。
ただし具体的な計算だけを紹介します。（行列がわかれば大丈夫な内容にします）

前振りだけしておくと、Spinorとはものすごくざっくりいうと

スカラー：0階のテンソル
ベクトル：1階のテンソル
行列[1]：2階のテンソル

としたときに、1/2階のテンソルっぽいものです。この意味で　ベクトルの平方根　ともいわれます。不思議ですね。たぶん相当変なやつなのでしょう。
（ここでは　テンソル　が何かには深入りしません。）

この「相当変なやつ」に「我々が毎日お世話になっている」なんて本当でしょうか？？

どこから出てくるのか、それを読者のみなさまにご紹介できればと思います。

[1]単なる数値の表ではなくて、特定の座標系に依存しないように”座標系とともに変わる”ということを課す必要があります。

2016-10-02

【イベントレポ】日曜数学会　第7回

Kumaです。

今回は、

第７回日曜数学会

に参加してきましたので、レポートです。
発表内容は下記の通り。

キグロ　モンティホール問題を数式で解く
ちばまさみ　お洋服と数学と
辻順平　ラマヌジャンやばいじゃん
nkjmゆう　Infinite monkeyに生命誕生を託してみた
クリスカ　ＴＢＡ
横山明日希　好きな数字は何ですか
福原和朗　トーナメントは運か実力か
数学カフェの中の人　リーマン面のモジュライを学ぶべき３つの理由
まこぴ～　ビジュアル系で行こう
近谷邦彦　不等式の証明
リング　関数から定義域の形を知る
mattyuu　リーマンゼータ関数のゼロ点を手計算してみた

いくつかピックアップして感想を書いてみます。

キグロ　モンティホール問題を数式で解く
モンティ・ホール問題については下記動画が参考になるでしょう。

【突き抜けた極限頭脳を持つ世界の天才スペシャル】1 - YouTube

ベイズの定理を活用してモンティ・ホール問題を理解し、一般化してみようという試み。ベイズの定理の勉強し初めの身としてはかなり参考になりました。
「やたらとあたりが出やすいモンティ・ホール問題」なんてのも構成できます。
面白いですね！！
そしてキグロさんは解説が非常に上手い。

nkjmゆう　Infinite monkeyに生命誕生を託してみた
『猿はタイプライターでシェークスピアを作れるか』の発展版として、できるだけランダムにDNA（ATGC)を生成するとどのような生物が生まれるか、というのがコンセプトでした。
保存領域（どの種でもDNAが共通と思われる領域）を一定として、その他のDNA部分をランダムにマッピングしたはずなのに、やたらと特定の門が出る。
どうやら保存領域と思われていたものがそうではないらしい。大変面白い結果でした。
質疑では大数の法則などで熱い議論が飛び交いました。統計力学でもよくある疑問で、これについては田崎晴明先生の「統計力学」を参照すると良いと思います。
ちばまさみ　お洋服と数学と
洋服を”種数で分類する”というとんでもない発表。
このアイデアで話せるのはこの人しかいないでしょうという感じ。
穴の数が３の洋服（閉曲面）は探索中とのこと。
靴下に自分で孔を開けるのはレギュレーション違反ですかね？（笑）
ちばさんの黒ストお御足をちらちらみていた人がいるようですが、誰でしょうね？
リング　関数から定義域の形を知る
ちばさんと示し合わせたのでは？と思うぐらいベストマッチだった”オイラー数の求め方”の発表。立体の展開図を書くことで、オイラー数が瞬時にもとまる。
もっと著しい方法として、モース関数を考えることでも求めることが出来る。
物体の穴の数が”極値および鞍点の種類とその数”で決定づけられてしまうというのは非常に面白い。
ちなみに、相互作用で「モースポテンシャル」というのが物理にありますが、別人の模様。
クリスカ　ＴＢＡ
とある二重積分のお話。解けそうで解きにくいのだが、背景にはディガンマ関数と調和級数がある。解析接続も関係していて、面白い内容。
x=1に極を持つことを利用して、複素積分で解けないか？と考えている。(x=1を避けるような閉路を考える。)
ただし解く過程でローラン展開することになるので、クリスカさんの提示した解法と同じになるかもしれない。

いろいろな発表がありましたが、今回は
・統計と確率
・幾何学
あたりが多かったと思います。
歓談タイムでは符号の話をさせていただいたり、最適化の話をしたり。
楽しかったです。飲食物や会場もいい感じに規模にあってまとまっていて、過ごしやすかったです。ありがとうございます。

分科会？コラボ？で今後もイベント盛りだくさんです！！

mathpower.sugakubunka.com
www.jst.go.jp

今回はLT見送りましたが、次回は符号理論か複素電磁気学の話をしたいと思います。

Best,

dp/dt.

2016-09-27

「役に立つのか」について

Kumaです。

「それって何の役に立つの」について書きましょう。

発端は、佐野さんの下記記事であります。

taketo1024.hateblo.jp

それを受けて、nkjmさんも私見を綴っています。

frasco-shaking-ny.hatenablog.com

基本的にお二人の意見はかなり納得できるものであると感じています。

＋αで、僕の価値観も書いておきたいと思います。

ざっくり言うと、

①「役に立つのかどうかを知るためには、まず理解が必要」

ということと

②「役に立つのかどうかを考えるのがあなたの仕事です」

ということです。

①については、私自身の経験も関係しています。
大学一年の頃に、ちゃんと物理数学をやりたくて集合位相入門（松坂先生）を読んでいて、某LIVEで配信もしていました。
そのときに、視聴者の方から（割りと頻繁に）
「工学部なのにそんな数学やっても意味ないよ」
と言われました。結局、意味があるかないかは気にせずに勉強した結果として
集合・位相の知識は抽象ベクトル空間、ひいてはヒルベルト空間の理解にも役に立ち、
微分方程式論や量子力学など研究の上で必須と言って良い分野の理解に大いに役立ちました。（定義を知っているだけでだいぶ違うものです）
しかし、集合・位相を学ばなかったとしたら、仮に量子力学の学習の過程で行き詰ったとしても、”それ”＝”数学の知識”が”つまずきの原因であることにすら”気づけなかったと思います。
知っていたから、それを役に立てられたのだと思います。
「バカとハサミも使い方を知らない人に、”バカとハサミの使いよう”は分からない」
私はそう思っています。

②については、私の敬愛する物理学者の一言を引用します。

　ファラデーが塩素につきて講演したとき、結末の所で言ったのに、
「新しい発見の事を聞くと、それは何の用に立つかと、すぐにきく癖の人がある。フランクリンはかような人には嬰児は何の用に立つのかと反問したそうだが、
余はこれを用に立つようにしてくれと答えたい。
始めて塩素をシールが発見した時には、実用にならなかったので、いわば嬰児であった。しかしこの嬰児が大きくなって、力づいてからは、今日立派に実用になっているではないか。」
　つまり、ファラデーは嬰児を作ることに尽力したので、育てて実用にするのは他人に頼んだ訳である。

愛知敬一ファラデーの伝電気学の泰斗　　より

私の価値観で言えることはこの２つだけです。

Best,

dp/dt.

2016-09-20

【イベントレポ】伝道師になろう　第四回

Kumaです。

伝道師になろう　の第四弾に参加してきました。

イベントのコンセプト、概要は主催の　狡猾な狐　さんのブログ『狐草子』を参照で。

wreck1214.hatenablog.com

今回はそのレポートです。

■新企画「おすすめの本の展示」＆「伝道したいものの展示」について

おすすめの本と自作POPを展示する試み。
大成功だったと思います。常に人だかりがありました。
私はファラデーとマクスウェルの伝記や論文など置きましたが、質問されることもありました。売り込みもしました。

POPをみれば、およそ誰がどんな意味で置いたのかも分かるので良かったと思います。内容もわかりますしね。
お話タイムが長めだったことと相乗効果だったと思います。

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▲まるで本屋さん！(画像は狐草子さんのもの）

■発表について

　今回の発表テーマは以下

数学和歌を詠もう　　キグロ＆狡猾な狐
2人の萩原　　　大仏
dp/dtって誰だ？　　Kuma
ドット絵の最小にして究極の美学　teigi
目指すは全国100回！ 　　みく
数を数えて遊ぼっ！　　そくらてす・かおす
カードゲームについて　　草場純（飛び入り）
ラスタとベクタ　　岩淵勇樹@butchi_y
生物系の博士課程がガチでポケモンを分類してみた　nkjmゆう
1. 数学和歌を詠もう　　キグロ＆狡猾な狐
  数学和歌の第一人者の狐さんと、解説全一(*)のキグロさんによる『数学和歌をやろう！』という熱いプレゼン。
  ’うまいこと言うのが苦手’な私は和歌や詩のたぐいは大の苦手ではありますが、XX(好きなもの)＋和歌　という組み合わせはアツいと思いました。物理和歌　というのをやってみたいですね。
  (*)全一(ぜんいち、ぜんいつ)　というのはゲーム用語で、全国一の略称です。
2. 2人の萩原　　　大仏
  詩人である二人の萩原の紹介。ホラーじみた作風。
  支離滅裂ぽい文章なのに世界観ががっつり伝わるという点が全く未知の体験。国語の授業で教わったやつはもっと”お行儀が良かった”
  声に出すとストレス解消になる、という意味がよく分かる。
3. dp/dtって誰だ？　　Kuma
  自分の発表なので特になし。ファラデーとマクスウェルの話をしました。
4. ドット絵の最小にして究極の美学　teigi
  ドット絵がアツかった。自作をしてるというのもすごい。
  FF3が例に出てました。いいですね！！
  DQ,FF,ロマサガあたりはドット絵が最高に美しい。
  テンション上がって、お話タイムでも「ロマサガ、サガフロがいいと思うんですけど！」って絡んでました。
5. 目指すは全国100回！ 　　みく
  後半は「献血ヴァンパイア」って言いたいだけの人が続出した発表。語感が良すぎる。
  献血を健康管理だったり出会いだったり、別の視点でみることができるというのは素晴らしいですね。そんなこと思ったこともなかった。。。
  私は血が少なすぎるので抜けないのですが。
6. 数を数えて遊ぼっ！　　そくらてす・かおす
  いつも語り尽くせないそくらてすさんの発表。聴衆レベルの仮定がちょっと高かった感はあります。（私はちょうどよかった）
  一方で、大学の数学をそれほどやっていない学生からも、「商集合や集合の対等までは初見だったけど理解できた」というコメントを聴いています。それだけ、解説は丁寧で分かりやすかったです。
  1.5倍ぐらいの時間があれば、多くの聴衆が連続体仮説まで理解できたと思います。それぐらい論理の飛躍は少なかったです。
7. カードゲームについて　　草場純（飛び入り）
  カードゲームの前に草場先生のアナログ生活に、「ITってなんのためにあるんだろう」という衝撃でやられました。
  シンプルなカードゲームほど面白い　そうで、実際に紹介していただいた”クク”は大盛り上がりでした。
  日本は、海外比でカードゲームやボードゲームがあまり無いような気もしてきます。
  そういえば、素数大富豪もルールはかなりシンプルですよね。
8. ラスタとベクタ　　岩淵勇樹@butchi_y
  ラスタとベクタの違いと使い分けについて。
  私の仕事にはかなり役立つ知識でした。
  流行ってないフォーマットもあるあたり、標準化って難しいですよね。
  発表もクイズがあったりして面白く、流石ぶっちーさんだなぁと思いました。（いつもクリエイティブなんですよね）
9. 生物系の博士課程がガチでポケモンを分類してみた　nkjmゆう
  本物の博士が知識の限りとネタの限りを尽くしてポケモン図鑑に挑む。
  イシツブテはツボった。卑怯。
  nkjmさんの知識の凄さはもはや言うまでもないですが、発表の面白さが相乗効果で効いてるんですよね。
  二次会ではゴリラ・ゴリラの話で盛り上がりました。
■お話タイムについて
Good　Job. ”こういうのを待ってました”というやつです。
スタンディングで自由に話をしたり、伝導をしたりするんですが、二時間近く取ってあったのでかなり色んな話が出来ました。

・ファラデーとマクスウェルについての詳細
・変位電流は磁場を作らない（私のアイデンティティ）
・モノポールの存在についての私見
・場の量子化と”粒子かつ波動”
・mod2でみる数列(二原子数列など)
・ドット絵（サガ推し）

伝道師の親イベントで”日曜数学会”がありますが、あちらはLTメインでフリートークのタイミングや話題がやや難しいです。
その痒いところに手が届いたのかなと思います。

■次回予告

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１０月３０日（日）＠日比谷図書館

参加費無料

寄付制(?)なので感動を夏目漱石に買えてつっこみましょう！

Best,
dp/dt.