エルミート行列のパウリ行列展開とその座標成分(2)

こんにちは。Kumaです。
この記事はエルミート行列のパウリ行列展開とその座標成分(1)の続きです。
electrodynamics.hatenablog.com

エルミート行列のパウリ行列展開

2x2エルミート行列 Hは、パウリ行列 \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} と単位行列 I の結合で書くことができます。
H = \frac{1}{2} ( h_{0}I + h_{1}\sigma_{1} + h_{2}\sigma_{2} + h_{3}\sigma_{3} )
ここで h_{0}, h_{1}, h_{2}, h_{3} はすべて実数であって次の式を満たします。
h_{0} = trace(IH), h_{1} = trace(\sigma_{1}H), h_{2} = trace(\sigma_{2}H), h_{3} = trace(\sigma_{3}H)

本当か？と思うので計算して確かめてみましょう！

証明

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まずtraceの中身 IH,\sigma_{1}H, \sigma_{2}H, \sigma_{3}H を計算する。
IH = H

\sigma_{1}H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -c & -d \end{pmatrix}

\sigma_{2}H = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}

\sigma_{3}H = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -ic & -id \\ ia & ib \end{pmatrix}

次にtraceを取ります。
h_{0} = trace(IH) = a+d, h_{1} = trace(\sigma_{1}H) = a-d, h_{2} = trace(\sigma_{2}H) = c+b, h_{3} = trace(\sigma_{3}H) = i(b-c)
よって
\frac{1}{2} ( h_{0}I + h_{1}\sigma_{1} + h_{2}\sigma_{2} + h_{3}\sigma_{3} )　= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
となり、確かに行列 H に一致します。
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まとめ

H = \frac{1}{2} ( h_{0}I + h_{1}\sigma_{1} + h_{2}\sigma_{2} + h_{3}\sigma_{3} )
という分解公式が成り立ちます。

おまけの性質

この表式　 H = \frac{1}{2} ( h_{0}I + h_{1}\sigma_{1} + h_{2}\sigma_{2} + h_{3}\sigma_{3} )
をもう少し掘ってみましょう。
両辺のtraceを考えます。
\sigma たちはトレースゼロという性質を持ち、かつtraceは線形演算でtrace(A+B)=trace(A)+trace(B)ですから
trace(H) = \frac{1}{2}h_{0}trace(I) =h_{0}
が成り立ちます。 Hのトレースはすべて h_{0} が担っています。つまり Hはトレースのある部分とない部分に分割されたわけですね。

さらに成分の公式
h_{0} = trace(IH), h_{1} = trace(\sigma_{1}H), h_{2} = trace(\sigma_{2}H), h_{3} = trace(\sigma_{3}H)
も少し掘ってみましょう。
ベクトルの場合、ある正規直交な基底ベクトルに関する成分(係数)を計算するには、そのベクトルとの内積を取れば良いのでした。
今回はまるで行列の積をとってtraceを計算することがベクトルの内積に相当するかのようです。実はこれは正しい類推です。
たとえば、 \sigmaたちは次の意味で”正規直交”になっています。
trace(\sigma_{i}\sigma_{j}) = \delta_{ij}
ここで　 \delta_{ij}はクロネッカーのデルタと呼ばれ、i=jのときに1, そうでない時には0を返す関数です。
”ベクトルの内積”が"行列積か～ら～の～trace"にすり替わっていると思うと、たしかにこれはベクトルの世界で言う正規直交系に相当します。
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それでは！！