射影演算子のパウリ行列展開

こんにちは。Kumaです。
この記事では射影演算子のパウリ行列展開を紹介します。
ざっくりいうと、複素数ベクトルを実数のベクトルに埋め込む方法になっています。

エルミート行列のパウリ行列展開

2x2エルミート行列 Hは、パウリ行列 \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} と単位行列 I の結合で書くことができます。
H = \frac{1}{2} ( h_{0}I + h_{1}\sigma_{1} + h_{2}\sigma_{2} + h_{3}\sigma_{3} )
ここで h_{0}, h_{1}, h_{2}, h_{3} はすべて実数であって次の式を満たします。
h_{0} = trace(IH), h_{1} = trace(\sigma_{1}H), h_{2} = trace(\sigma_{2}H), h_{3} = trace(\sigma_{3}H)

これは以前の記事で証明しています。
electrodynamics.hatenablog.com

複素ベクトル同士の内積と外積

天下り的ですが、いま二成分の複素ベクトル２つ \psi, \phiを考えます。

\psi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}

\phi = \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix}


さらに、「内積」を定義します。(片方に複素共役 \starを取る以外はふつうのベクトルの内積ですね）
ふたつのベクトルから複素数１つを作り出します。

\psi \cdot \phi = \begin{pmatrix} \alpha^{\star} & \beta^{\star} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \alpha^{\star} \gamma + \beta^{\star} \delta

更に「外積」というものを定義します。
ふたつのベクトルから行列１つを作り出します。


\psi \otimes \phi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma^{\star} & \delta^{\star} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \gamma^{\star} & \alpha \delta^{\star} \\ \beta \gamma^{\star} & \beta \delta^{\star} \end{pmatrix}

同じベクトル同士の内積をとったとき、それをその複素ベクトルのノルム（の二乗）といいます。

\psi \cdot \psi = \alpha^{\star} \alpha + \beta^{\star} \beta =|\alpha|^{2} + |\beta|^{2}

同様に、同じベクトル同士の外積をとったとき、それをその複素ベクトル方向への射影演算子といいます。
（特に、ノルムが１のベクトル同士の場合にいいます）

\psi \otimes \psi = \begin{pmatrix} \alpha \alpha^{\star} & \alpha \beta^{\star} \\ \beta \alpha^{\star} & \beta \beta^{\star} \end{pmatrix}

なぜ同じベクトル同士の外積を射影演算子と呼ぶのでしょうか？確かに行列はベクトルに作用する”演算子”ですが・・・
この理由は読者の練習問題ということで。。

射影演算子はエルミート行列である

射影演算子は、なんとエルミート行列になっています。

  • 対角要素は実数である
  • 非対角要素は共役転置で移り合う

ことから明らかです。

すなわち、射影演算子のパウリ行列展開が可能です！

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さて、射影演算子\psi \otimes \psi
をパウリ行列展開したときの実数の係数、すなわち座標成分 hは
もとの複素ベクトル \psi の成分とどんな関係にあるでしょうか？

どうやら、Kumaはこの方法で「複素数をパウリ行列という変換器を使って実数の世界で眺めたら、何が起きるのか」
を知りたいようですね。
続きはまた。

それでは！！